Généralités - bases de calcul

1 Charges internes

Voici la distribution des charges internes dans le fil :

 : charge normal à la section s.

 : effort de cisaillement dans le plan de la section s.

 : moment de flexion selon un axe contenu dans la section s.

 : moment de torsion perpendiculaire à la section s.

 

2 choix des coordonnées

On effectue le calcul en coordonnées cylindriques en utilisant le repère (, ,) en tout point du ressort et le repère (,, ) lié à la section droite.

L'angle d'hélice z est donné par la relation suivante :

Tan(z) = m/(πD)

Le repère lié à la section s perpendiculaire à l'axe du fil du ressort est défini par la relation matricielle :

En reprenant les notations du premier paragraphe, on a donc :

= N = T

= Mt = Mf

Ces notations peuvent être regroupées :

= N+ T et = Mt+ Mf

3   Calcul des contraintes pour les ressorts de compression et traction

Le ressort est soumis à la force axiale F uniquement. Lors d'une compression, F > 0 et lors d'une traction, F < 0. Le torseur des efforts intérieurs au centre de la section est égal au torseur des efforts appliqués sur la partie gauche :

D'où par projection sur le repère (,,) :

On en déduit les efforts intérieurs :

Considérons maintenant le point M de coordonnées (x1, x2, x3) dans le repère local (0S ,,,). Avec l'hypothèse de St Venant, la contrainte de flexion (ou de tension) σ 11 et la contrainte de torsion (ou de cisaillement) τ sont définies par :

σ 11 = -Mf x3 / J -N / S

τ = (0, σ 12, σ 13)

La répartition des contraintes associée est :

σ 11 = -F sin(z) / S + x3 F D sin(z) / (2 J)

σ 12 = - x3 F D cos(z) / (2 I) + (4 F cos(z) )(1- 4 x22 / d2) / (3 S)

σ 13 = x3 F D cos(z) / (2 I)

oùσ 11 est orthogonal à la section s and σ 12 et σ 13 sont dans le plan de la section.

On obtient avec I = π d4 / 32 et J = π d4 /64  :

  • σ 11max = (16 F D sin(z) ).(1 + 1/4 x d/D) / (π d3) qui correspond à x3 = -d/2
  • τ max = (8 F D cos(z) ).(1 + 2/3 x d/D) / (π d3) qui correspond à x2 = 0 et x3 = -d/2

En conclusion, la contrainte prépondérante est τ max lorsque l'angle d'enroulement est faible (z < 7.5 degrés). Pour les ressorts de compression et de traction, il faut donc veiller à ne pas dépasser la contrainte de torsion ou de cisaillement. En pratique, la contribution de l'effort tranchant (second terme des parenthèses) est négligée devant le moment de torsion et on applique un coefficient de correction k dépendant du rapport w = D/d et qui a été établi expérimentalement (le coefficient permet aussi de tenir compte de l'effet de courbure du ressort).

Pour la norme européenne :

Il existe d'autres formulations qui donnent des résultats sensiblement équivalents.

4   Calcul des contraintes pour les ressorts de torsion

Dans ce cas, F = 0 et le ressort est soumis à un couple M.

Les efforts intérieurs sont donc ici :

D'où par projection sur (,,) :

On en déduit donc :

En se plaçant toujours dans l'hypothèse de st Venant, on obtient la répartition des contraintes suivante :

σ 11 = - x3 (M cos(z) ) / J

σ 12 = x3 (-M sin(z) ) / J

σ 13 = x3 (M sin(z) ) / I

Les contraintes maximales de flexion et de torsion sont donc :

  • σ 11max = (32 M cos(z) ) / (π d3) qui correspond à x3 = -d/2
  • τ max = (32 M sin(z) ) / (π d3) qui correspond à x3 = -d/2.

La contrainte la plus grande est la contrainte de flexion ou de traction lorsque l'angle d'enroulement est faible (z < 7.5 degrés). Pour les ressorts de torsion, il faudra donc veiller à ne pas dépasser la contrainte maximale de flexion. Un coefficient correcteur q est utilisé pour tenir compte de la courbure du ressort. k est fonction du rapport d'enroulement w = D/d.

Pour la norme européenne :

5 Calcul de la raideur pour les ressorts compression et de traction

L'étude des contraintes dans le fil à montré que celui-ci est principalement soumis à de la torsion. Nous pouvons donc étudier la déformation engendrée pour calculer la raideur globale du ressort.

Chaque portion de spire dl est soumise à Mt (torsion) et tourne de dθ:

dq = Mt /(G Io) dl

avec Mt = F D/2 and Io = p d4/32

Cela engendre un déplacement axial

df = D/2 dq

Integrating it on the springs length, we obtain:

f = 8 D2 F /( p G d4 ) L

On peut considérer que L= n p D où n est le nombre de spires actives

on obtient finalement : f = F 8 n D3 / (G d4)

D'où la formule de souplesse du ressort : S = 8 n D3 / (G d4)

Ainsi que son inverse, la raideur : R = G d4/ (8 n D3)




Manuel Paredes